連立 方程式 行列。 線形代数I/連立一次方程式

この時 、 大きな力を発揮するのが行列による計算法です。 (続編完成しました:「」) 連立方程式を行列の積で表そう まず問題の連立方程式を以下に示します。 ある固有値 の固有ベクトルが で表せるとします。

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この単位行列を使って連立方程式を再現したら次のようになります。 これについて、 1 ~ 3 の問いに答えなさい。 これはシンプルな技術ですが、今後、線形代数の様々な場面で使うことになりますので、しっかりと抑えておきましょう。

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まず上で出てきた 未知数が 3の場合について考えてみます。

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ということはこの方程式は解けないということがわかりますね。 。

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この式を変形して行列を出すのですが、ちょっと簡略化してこんな感じに書いてみましょう。 4 の最後にでてきた答えと一致する。 このように、連立方程式の解は、2つの行列の行列式の割り算で表現できるというシンプルな公式です。

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このとき右側に現れる値が、その連立方程式の解です。 成分の数を増やすことで(サイズの大きな行列)膨大なデータを扱うことができるので、機械(コンピューター)と相性が良く、現代においてはなくてはならないものです。 同次式の場合は拡大係数行列を使わなくても解がどうなるかがわかります。

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この式を見ると、 ] など様々な解がある。 また、すべての解を表すのに必要な任意の定数の数は連立方程式の未知数(行列の列数) を用いて となる。

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(組み合わせ例: ) このように無数に存在する場合を定数の文字を自分でおいて解答を行う。 任意の定数を 個置いて解を表せる。

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